Как найти радиус кривизны траектории
При изучении движения тел часто возникает вопрос: насколько «круто» изгибается траектория в той или иной точке? Для ответа на этот вопрос в физике и математике существует специальное понятие — радиус кривизны. В этой статье мы покажем правильный пошаговый метод его нахождения.
Что такое радиус кривизны?
Представьте, что вы едете по извилистой дороге. В каждый момент времени можно подобрать такую окружность, которая лучше всего совпадет с изгибом дороги. Радиус этой «соприкасающейся» окружности и есть радиус кривизны траектории в данной точке.
- На почти прямом участке дороги радиус кривизны будет очень большим.
- На крутом повороте радиус кривизны будет маленьким.
1) Выберите траекторию
2) Точка на кривой
Подсказки
Основной метод расчета в кинематике
Главная формула, связывающая кинематику и геометрию траектории, выглядит так:
\[ R = \frac{v^2}{a_n} \]
Где \( v \) — модуль полной скорости, а \( a_n \) — нормальное ускорение.
Алгоритм расчета на примере
Чтобы воспользоваться формулой, нам нужно последовательно найти все необходимые компоненты. Давайте разберем этот процесс.
Условие задачи
Движение точки задано законами:
\( x(t) = 3t \), \( y(t) = 9t^2 — 2 \)
Требуется найти радиус кривизны траектории в момент времени \( t = 1 \) с.
Шаг 1: Находим полную скорость (v)
Сначала найдем проекции скорости, взяв первые производные от координат по времени:
\( v_x(t) = x'(t) = (3t)’ = 3 \)
\( v_y(t) = y'(t) = (9t^2 — 2)’ = 18t \)
В момент \( t=1 \) с:
\( v_x(1) = 3 \) м/с
\( v_y(1) = 18 \cdot 1 = 18 \) м/с
Теперь по теореме Пифагора находим модуль полной скорости:
\( v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{3^2 + 18^2} = \sqrt{9 + 324} = \sqrt{333} \approx 18.25 \) м/с.
Шаг 2: Находим полное ускорение (a)
Аналогично, находим проекции ускорения, взяв производные от проекций скорости:
\( a_x(t) = v_x'(t) = (3)’ = 0 \)
\( a_y(t) = v_y'(t) = (18t)’ = 18 \)
Эти значения постоянны. Модуль полного ускорения:
\( a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + 18^2} = 18 \) м/с².
Шаг 3: Находим касательное ускорение (aτ)
Касательное ускорение отвечает за изменение величины скорости. Мы найдем его, чтобы затем «отделить» от полного ускорения и найти нормальное. Формула для касательного ускорения:
\[ a_{\tau} = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v} \]
Подставляем наши значения для \( t=1 \) с:
\[ \begin{aligned} a_{\tau} &= \frac{3 \cdot 0 + 18 \cdot 18}{\sqrt{333}} \\ &= \frac{324}{\sqrt{333}} \\ &\approx 17.75 \text{ м/с²} \end{aligned} \]
Шаг 4: Находим нормальное ускорение (an)
Полное, касательное и нормальное ускорения связаны теоремой Пифагора: \( a^2 = a_{\tau}^2 + a_{n}^2 \). Отсюда выражаем нормальное ускорение:
\[ \begin{aligned} a_{n} &= \sqrt{18^2 — (17.75)^2} \\ &= \sqrt{324 — 315.06} \\ &= \sqrt{8.94} \approx 2.99 \text{ м/с²} \end{aligned} \]
Шаг 5: Находим радиус кривизны (R)
Теперь у нас есть все для финального расчета по главной формуле!
\[ R = \frac{v^2}{a_n} \]
Подставляем модуль скорости (лучше в виде квадрата корня для точности) и нормальное ускорение:
\[ R = \frac{(\sqrt{333})^2}{2.99} = \frac{333}{2.99} \approx 111.37 \text{ м} \]
Ответ: В момент времени t=1 с радиус кривизны траектории составляет примерно 111.4 м.
Устали от многоэтапных расчетов?
Теперь вы знаете правильный алгоритм. А чтобы сэкономить время и избежать ошибок в вычислениях, воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором. Он проделает все эти 5 шагов за вас за доли секунды.
Выполнить расчет онлайн