Анализ характера движения точки
Просто взглянув на уравнения движения, можно ли сказать, разгоняется ли объект, тормозит или едет с постоянной скоростью? Да, и для этого не нужно строить графики или долго размышлять. В кинематике существует четкий критерий — касательное (тангенциальное) ускорение.
Главный ответственный — касательное ускорение \( a_{\tau} \)
Как мы уже обсуждали, полное ускорение можно разложить на две компоненты: нормальное (\(a_n\)) и касательное (\(a_{\tau}\)).
- Нормальное ускорение \(a_n\) отвечает только за изменение направления скорости. Оно «заставляет» точку поворачивать.
- Касательное ускорение \(a_{\tau}\) отвечает только за изменение величины (модуля) скорости. Оно «заставляет» точку разгоняться или тормозить.
Именно поэтому знак касательного ускорения является ключом к определению характера движения. Он показывает, совпадает ли направление «силы разгона/торможения» с направлением движения.
Три типа движения и их условия
Всё сводится к простому анализу знака \(a_{\tau}\) в конкретный момент времени.
Ускоренное движение
Условие: \( a_{\tau} > 0 \)
Что это значит: Вектор касательного ускорения направлен в ту же сторону, что и вектор скорости. Он «подталкивает» точку, увеличивая ее скорость.
Пример: Автомобиль нажимает на газ.
Замедленное движение
Условие: \( a_{\tau} < 0 \)
Что это значит: Вектор касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости. Он «тормозит» точку, уменьшая ее скорость.
Пример: Велосипедист нажимает на тормоза.
Равномерное движение
Условие: \( a_{\tau} = 0 \)
Что это значит: Проекция полного ускорения на направление движения равна нулю. Величина скорости не меняется.
Пример: Машина едет по кругу с постоянной скоростью на спидометре.
Анализ характера движения точки наглядный пример
Практический пример
Давайте определим характер движения для точки в конкретный момент времени.
Условие задачи
Движение точки задано законами:
\( x(t) = t^3 — 12t \), \( y(t) = 5t^2 \)
Определить характер движения в момент времени \( t = 2 \) с.
Шаг 1: Находим проекции скорости (\( v_x, v_y \))
Берем первые производные:
\( v_x(t) = x'(t) = 3t^2 — 12 \)
\( v_y(t) = y'(t) = 10t \)
В момент \( t=2 \) с:
\( v_x(2) = 3(2^2) — 12 = 3 \cdot 4 — 12 = 0 \)
\( v_y(2) = 10 \cdot 2 = 20 \)
Шаг 2: Находим проекции ускорения (\( a_x, a_y \))
Берем вторые производные:
\( a_x(t) = x»(t) = 6t \)
\( a_y(t) = y»(t) = 10 \)
В момент \( t=2 \) с:
\( a_x(2) = 6 \cdot 2 = 12 \)
\( a_y(2) = 10 \)
Шаг 3: Вычисляем знак \( a_{\tau} \)
Теперь подставляем найденные значения в числитель формулы:
\( v_x a_x + v_y a_y = (0 \cdot 12) + (20 \cdot 10) = 0 + 200 = 200 \)
Шаг 4: Делаем вывод
Результат (200) — положительное число. Следовательно, \( a_{\tau} > 0 \).
Ответ: В момент времени t=2 с движение точки является ускоренным.
Важное замечание: не путайте с полным ускорением!
Частая ошибка — судить о характере движения по полному ускорению \(a\). Наличие ускорения (\(a > 0\)) не всегда означает, что движение ускоренное. Например, при равномерном движении по окружности \(a_{\tau} = 0\), но \(a = a_n > 0\). Тело не разгоняется, но ускорение у него есть! Всегда анализируйте именно касательную составляющую.
Проверьте себя без сложных вычислений
Теперь вы знаете, как анализировать движение. Чтобы сэкономить время и избежать ошибок в производных, воспользуйтесь нашим калькулятором.
Определить характер движения онлайн